Teka-Teki Matematik ini Akan Membantu Anda Rancang Parti Seterusnya Anda
Mapping connections pada shindig anda seterusnya.
unclibraries_commons 

Katakan anda merancang pesta anda yang seterusnya dan teragak-ayakan ke atas senarai tetamu. Kepada siapa anda harus menghantar undangan? Apa gabungan kawan dan orang asing adalah campuran yang betul?

Ternyata ahli matematik telah bekerja pada versi masalah ini selama hampir satu abad. Bergantung kepada apa yang anda mahu, jawapannya boleh menjadi rumit.

Buku kami, "Teori Grafik Dunia Menarik, "Meneroka teka-teki seperti ini dan menunjukkan bagaimana ia dapat diselesaikan melalui graf. Persoalan seperti ini mungkin kelihatan kecil, tetapi ia adalah demonstrasi yang indah bagaimana grafik boleh digunakan untuk menyelesaikan masalah matematik dalam pelbagai bidang seperti sains, komunikasi dan masyarakat.

Teka-teki dilahirkan

Walaupun sudah terkenal bahawa Harvard adalah salah satu universiti akademik terkemuka di negara ini, anda mungkin terkejut mengetahui bahawa ada saatnya Harvard memiliki salah satu pasukan bola sepak terbaik di negara ini. Tetapi di 1931, dipimpin oleh Barry Wood All-American quarterback, demikianlah keadaannya.

Musim itu Harvard bermain Tentera. Pada waktu separuh akhir, Tentera membawa Harvard 13-0. Jelas sekali, presiden Harvard memberitahu komander kadet Tentera bahawa walaupun Tentera mungkin lebih baik daripada Harvard dalam bola sepak, Harvard lebih unggul dalam persaingan yang lebih ilmiah.


grafik langganan dalaman


Walaupun Harvard kembali untuk mengalahkan Tentera 14-13, komandan menerima cabaran untuk bersaing dengan Harvard dalam sesuatu yang lebih ilmiah. Telah dipersetujui bahawa kedua-duanya akan bersaing - dalam matematik. Ini membawa kepada pasukan pemilihan pasukan Tentera Darat dan Harvard; pertunjukan terjadi di West Point di 1933. Untuk kejutan Harvard, Tentera menang.

Pertandingan Harvard-Tentera akhirnya membawa kepada persaingan matematik tahunan untuk mahasiswa dalam 1938, yang dipanggil Peperiksaan Putnam, yang dinamakan untuk William Lowell Putnam, saudara presiden Harvard. Peperiksaan ini direka untuk merangsang persaingan yang sihat dalam matematik di Amerika Syarikat dan Kanada. Selama bertahun-tahun dan terus ke hari ini, peperiksaan ini mengandungi banyak masalah yang menarik dan sering mencabar - termasuk yang kami terangkan di atas.

Garis merah dan biru

Peperiksaan 1953 mengandungi masalah berikut (ditulis semula sedikit): Terdapat enam mata dalam pesawat. Setiap titik disambungkan ke setiap titik lain dengan garis yang sama biru atau merah. Tunjukkan bahawa terdapat tiga titik di antara yang hanya baris warna yang sama ditarik.

Dalam matematik, jika terdapat kumpulan mata dengan garis yang ditarik di antara beberapa pasang mata, struktur itu dipanggil grafik. Kajian grafik ini disebut teori graf. Dalam teori graf, bagaimanapun, titik dipanggil simpul dan garisan dipanggil tepi.

Grafik boleh digunakan untuk mewakili pelbagai situasi. Sebagai contoh, dalam masalah Putnam ini, satu titik dapat mewakili seseorang, garis merah boleh berarti orang-orang berteman dan garis biru bermaksud bahawa mereka adalah orang asing.

ujian matematik
Tunjukkan bahawa terdapat tiga mata yang disambungkan dengan garis warna yang sama. Gary Chartrand

Contohnya, hubungi titik A, B, C, D, E, F dan pilih salah seorang daripada mereka, katakan A. Daripada lima garisan yang diambil dari A ke lima mata yang lain, mesti ada tiga baris warna yang sama.

Katakan garis dari A ke B, C, D adalah semua merah. Sekiranya garis antara dua B, C, D adalah merah, maka terdapat tiga mata dengan hanya garis merah di antara mereka. Jika tiada garis antara dua B, C, D adalah merah, maka semuanya berwarna biru.

Bagaimana jika terdapat hanya lima mata? Mungkin tidak ada tiga titik di mana semua garis di antara mereka berwarna sama. Sebagai contoh, garisan A-B, B-C, C-D, D-E, E-A mungkin merah, dengan warna biru yang lain.

Dari apa yang kita lihat, maka, bilangan terkecil orang yang boleh dijemput ke pesta (di mana setiap dua orang adalah kawan atau orang asing), maka terdapat tiga sahabat atau tiga orang asing yang bersama adalah enam orang.

Bagaimana jika kita mahu empat orang menjadi teman bersama atau orang asing? Apakah bilangan terkecil orang yang perlu kita jemput kepada parti untuk memastikan perkara ini? Soalan ini telah dijawab. Itu 18.

Bagaimana jika kita mahu lima orang menjadi rakan bersama atau orang asing? Dalam keadaan ini, bilangan terkecil orang yang akan dijemput kepada pihak yang dijamin ini adalah - tidak diketahui. Tiada sesiapa yang tahu. Walaupun masalah ini mudah dijelaskan dan mungkin bunyi agak mudah, ia amat sukar.

Nombor Ramsey

Apa yang kita sedang berbincang ialah sejenis nombor dalam teori graf yang dipanggil nombor Ramsey. Nombor-nombor ini dinamakan untuk ahli falsafah British, ahli ekonomi dan ahli matematik Frank Plumpton Ramsey.

Ramsey meninggal dunia pada usia 26 tetapi diperolehi pada zamannya yang sangat awal teorem yang sangat ingin tahu dalam matematik, yang menimbulkan persoalan kami di sini. Katakan kita mempunyai satu lagi pesawat yang penuh dengan mata yang dihubungkan dengan garis merah dan biru. Kami memilih dua bilangan bulat positif, dinamakan r dan s. Kami mahu mempunyai mata r yang tepat di mana semua baris di antara mereka adalah titik merah atau s di mana semua baris antara mereka berwarna biru. Apakah bilangan poin yang paling kecil yang boleh kita lakukan dengan ini? Ia dipanggil nombor Ramsey.

Sebagai contoh, katakan kami ingin pesawat kami mempunyai sekurang-kurangnya tiga mata yang dihubungkan oleh semua garisan merah dan tiga mata yang dihubungkan oleh semua garisan biru. Nombor Ramsey - bilangan poin terkecil yang kita perlukan untuk membuat ini berlaku - adalah enam.

Apabila ahli matematik melihat masalah, mereka sering bertanya kepada diri sendiri: Adakah ini mencadangkan satu lagi soalan? Inilah yang telah berlaku dengan nombor Ramsey - dan masalah parti.

Sebagai contoh, inilah satu: Lima gadis sedang merancang pesta. Mereka telah memutuskan untuk menjemput beberapa kanak-kanak lelaki ke parti, sama ada mereka tahu lelaki atau tidak. Berapa ramai anak lelaki yang perlu mereka jemput untuk memastikan bahawa akan sentiasa ada tiga lelaki di antara mereka sehingga tiga dari lima gadis itu adalah kawan baik dengan ketiga-tiga lelaki atau tidak mengetahui semua tiga lelaki? Ia mungkin tidak mudah untuk membuat tekaan yang baik pada jawapannya. It's 41!

PerbualanNombor Ramsey sangat sedikit diketahui. Bagaimanapun, ini tidak menghalang ahli matematik cuba menyelesaikan masalah tersebut. Sering kali, gagal untuk menyelesaikan satu masalah boleh menyebabkan masalah yang lebih menarik lagi. Demikianlah kehidupan seorang ahli matematik.

Mengenai Pengarang

Gary Chartrand, Profesor Emeritus Matematik, Western Michigan University; Arthur Benjamin, Profesor Matematik, Harvey Mudd College, dan Ping Zhang, Profesor Matematik, Western Michigan University

Artikel ini pada asalnya diterbitkan pada Perbualan. Membaca artikel asal.

Buku berkaitan:

at InnerSelf Market dan Amazon